テイラー展開

元の式 ＝ f(a) + １階微分 + ２階微分 + ･･･ + n階微分した総和

 

数があまりに小さい時に近似として使える。
物理学・統計学、三角関数等を簡単な近似の式にする。

 

 

exp)
(1.008)^20

 

0次近似

1.008^20はほとんど１と同じという考え

1.008^20
≒ 1^20
≒ 1

 

1次近似

(1.008)^20 = (1 + 0.008)^20
≒ (1 + x)^20とします。

近似にする手段として接線の公式を利用します。
f(x) = f(a) +  f'(a)/1!(x-a) 

(1 + x)^20 = (1 + a)^20 + 20(1 + a)^19/1! × (x -a)

 

 

 

マクローリン展開

計算を簡単にする為にaが0の時で計算してみる、
原点周りでの展開で簡単にすること=マクローリン展開

 

a=0とすると、

(1 + 0)^20 + 20(1 + 0)^19 × (x – 0)
= 1 + 20×1^19 × x
= 1 + 20x

 

xが0.008だから、

= 1 + 20 × 0.008
= 1 + 0.16
=1.16

(1.008)^20の0の周りのテイラー展開での1次近似は1.16

(1.008)^20をまともに計算すると下記
1.17276404348

1.1727… ≒ 1.16

 

 

また、高次の導関数を考慮すると、近似はより近くなる。

 

 

２次近似

 

f(x) = f(a) + f'(a)/1!(x-a) + f”(a)/2!(x-a)^2

(1 + x)^20 = (1 + a)^20 + 20(1 + a)^19/1! × (x -a) + 20 × 19(1 + a)^18/2! × (x -a)

 

マクローリン展開
(1 + x)^20 = + (1 + 0)^20 + 20(1 + 0)^19/1! × (x – 0) + 19(1 + 0)^18/2! × (x -0)^2
= 1 + 20x + 19/2! × x
= 1 + 20x + 9.5x^2

f(0.008) = 1 + 20 × 0.008 + 9.5 × 0.008^2
=1.160608