定価1000円で、１日に1000個売れる商品がある。この商品を8円値下げすると、売上個数は10個ずつ増えるとする。売上額を維持するにはいくらまで値下げできるか。

値下げすると１個あたりの売上は減るが、たくさん売って売上額を維持したい。

 

値下回数	0	1	2	5	10	20	30
値下額	0	8	16	40	80	160	240
売価	1000	992	984	960	920	840	760
売上個数	1000	1010	1020	1050	1100	1200	1300
売上額	1,000,000	1,001,920	1,003,680	1,008,000	1,012,000	1,008,000	988,000

 

あまりに値下げしすぎると、売上額が落ちる。

売上を維持できるギリギリの値下げ回数をx回とする。

値下げ額は8x円となり、売価は1000-8x(円)。

売上個数は10x個増えるので、

(1000 – 8x) × (1000 + 10x)円となりまた、これが1,000,000円と等しくなる。

$$1000000+10000x-8000x-80x^{2}=1000000$$

$$-80x^{2}+2000x=0$$

$$x^{2}-25x=0$$

 

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

$$\begin{align*} & \chi =\frac {-\left( -25\right) \pm \sqrt {\left( -25\right) ^{2}-4\times 1\times 0}} {2\times 1}\\ & \equiv \dfrac {25\pm 25} {2}=25 , 0\end{align*}$$

 

ｘが25の時、０の時と出たが、０は値下げをしない時なので、

x = 25の時。

1000 – 8 × 25 = 800円まで値下げできる。

800円まで値下げしても、値下げしない時と同じ売上額を維持できる。

 

頂点の出し方

 

頂点の出し方は公式があるので利用する。

$$y=ax^{2}+bx+c$$

$$x=-\frac {b} {2a}$$

これでxが出るので、yが出ます。

$$x^{2}-25x=0$$

の場合は、

$$-\frac {-25} {2\times 1}=\frac {25} {2}=12.5$$

 

ｘが12.5の時、頂点(底)になります。

現実の試行回数に12.5回というのはないです、でも数学的にはそうです。

なので現実的には12回、13回が最大の売上額となります。

 

@see 微分積分入門